Esta es la lección inicial para el curso de cálculo vectorial, porque si no sabes cómo graficar vectores en el espacio, pues no vas a entender esta materia. Ponte pilas, esto es lo que aprenderás en esta lección:
Temas a Estudiar en la Lección 1:
*Review vectores 2D y el plano cartesiano.
*El Espacio :o. Octantes.
*Puntos en el espacio.
*Vectores en el espacio.
Ahora si, a darle con todo :D.
Vectores 2D y el Plano cartesiano.
Sabemos que en un plano cartesiano convencional contamos con dos ejes, un plano (plano xy) y cuatro cuadrantes. Para refrescar un poco tu memoria, te muestro la siguiente imagen, donde tenemos un eje horizontal x y un eje vertical y.
Supongo que sí te acuerdas de la enumeración de los cuadrantes en un plano cartesiano, entonces, se pueden clasificar de la siguiente forma, según la orientación de los ejes, donde se indicará como negativa a la variable seguida de un apostrofe.
Cuadrante I: (x, y); ambas variables son positivas.
Cuadrante II: (x', y); x negativa, y positiva.
Cuadrante III: (x', y'); ambas variables son negativas.
Cuadrante IV: (x, y'); y negativa, x positiva.
El espacio: Plano 3D.
El plano cartesiano tridimensional (espacio) está compuesto de tres ejes, tres planos y ocho octantes, para un mejor entendimiento de estas cosas bien raras, te muestro la siguiente tablita:
Si eres observador, te darás cuenta que hay unas coordenadas y también te preguntarás qué significan. Primero, identifiquemos los octantes. Encontré una imagen por ahí en la que son visibles de una manera decente. Checa:
Te explicaré de la misma forma la distribución de los octantes, según la orientación de los tres ejes, así como lo vimos en el plano cartesiano. No se te olvide que si la variable tiene un apostrofe, significa que está del lado negativo. También puedes llamarle el lado oscuro pa' que te acuerdes mejor:)
Octante I: (x, y, z); todas las variables son positivas.
Octante II: (x', y, z); solo x es negativa.
Octante III: (x', y', z); sólo z es positiva.
Octante IV: (x, y', z); solo y es negativa.
Octante V: (x, y, z'); sólo z es negativa.
Octante VI: (x', y, z'); solo y es positiva.
Octante VII: (x', y', z'); todas las variables son negativas.
Octante VIII: (x, y', z'); solo x es positiva.
Ahora bien, para que entiendas eso de las coordenadas que viste en la tablita, veamos el concepto de vector unitario.
Vector unitario: básicamente, es un vector de módulo uno, es decir, es un vector de magnitud 1.
En este caso, se representa un vector unitario para cada eje, sea el vector unitario de x denominado a, para el eje y será nombrado b y para z, será identificado como c. Te voy a mostrar dos ejemplo de estos vectores y el plano al que pertenecen, así como las coordenadas correspondientes, según la tabla para que puedas identificarlo, te dejo a ti razonar para hallar los restantes.
En la gráfica siguiente, puedes observar el vector a, el cual corresponde al eje x, el vector c y el correspondiente al eje z.
El vector unitario 'c' se encuentra en coordenadas (0, 0, c), ubicado en el plano xy.
En la segunda gráfica mostrada, observamos el mismo vector a, correspondiente al eje x y un vector b, correspondiente al eje y.
El vector unitario 'b' se encuentra en coordenadas (0, b, 0), ubicado en el plano yz.
Puntos y vectores en el espacio.
Ahora bien, para ubicar los puntos en el espacio, se sigue un método prácticamente igual que en el plano, es decir, se otorgan coordenadas, por ejemplo:
*Ubicar en el espacio el punto P(a, b, c).
Recordando nuestros cursos de trigonometría, sabemos que el valor de a corresponde al eje x, el valor de b corresponde al eje y, el valor de c corresponde al eje z, entonces, viendo el siguiente gráfico, te puedes dar cuenta que se avanzan a unidades en el eje x, b unidades en el eje y y c unidades en el eje z. En donde coincidan los tres valores de las coordenadas será colocado el punto P.
Este ejemplo es fundamental, donde los tres valores son positivos, con esto, tu ya podrás hallar cualquier punto en el espacio.
Por otra parte, los vectores en el espacio, pueden denominarse de diferentes maneras, las cuales son parecidas a las del punto, para diferenciarse, se usan llaves en vez de paréntesis, utilizaremos la variable V para nombrar al vector. Por ejemplo, El vector V{a, b, c}. Esta es una forma básica, además de la forma vectorial normal, siendo V{i, j, k}, el cual es un vector unitario tridimensional.
El método de graficación a seguir es, hallar las coordenadas como si fueran puntos (observar el ejemplo anterior) y trazar un segmento de recta desde el origen, hasta al punto establecido. Por ejemplo, la graficación correspondiente al vector unitario tridimensional V{i, j, k} será la siguiente:
Donde i corresponde a la unidad en el eje x, j corresponde a la unidad en el eje y y k corresponde a la unidad den el eje z. Para más información, consulta Vector Unitario en nuestro blog.
Esto es todo por hoy amigos, recuerden que el conocimiento no sirve de nada si no se comparte. :)
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